中学数学课程与教学中的函数及其思想

摘要：代数是中学数学课程中的重要内容，而函数又是代数的核心知识，也是学生学习代数的难点。从中学数学教科书中关于函数概念的几种定义出发，讨论了函数的本质和学习函数的要点以及课程设计的原则。

关键词：中学数学；课程；教学；函数

20世纪以来，世界各国中学数学中关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心。［1］现在，函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。因此，在中学数学课程改革中，理解函数思想，把握函数本质，处理好函数的教学是很重要的。针对上述问题，我对史宁中教授进行了访谈，下面是经过整理后的访谈记录。

一、函数及其思想

?问：函数概念是中学数学中最重要的概念之一，函数定义的形成经历了较长的演变过程，您可以谈谈函数定义的发展历史吗？

▲史教授：是的，函数定义的形成确实经历了较长的时间。即使在今天，在我们数学教科书中，函数的定义在初中、高中、大学还是有所不同的，这也从一个侧面反映了函数定义的发展历史。

最初，是德国数学家莱布尼茨（Leibniz）在他的一部手稿中，用到了Function一词。是用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，例如，切线、法线、次切线等的长度和纵坐标等，那是在17世纪（1673年）。［2］

到了18世纪（1718年），贝努利（Bernoulli）给出了函数的解析定义：是由变量x和常数组成的式子。

欧拉（Euler）首先给出了函数的变量定义（1755年）：“如果某变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一些变量的函数。”可以看到，我国初中数学教科书中关于函数的定义就采用了这一说法。

后来，黎曼（Riemann）给出了函数的对应定义（1851年）：“我们假定Z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的一个值与之对应，则称W是Z的函数。”这可以被看作我国高中数学教科书中关于函数定义的雏形。

到了上个世纪（1939年），布尔巴基学派认为，函数的定义应当强调关系，于是借用了笛卡儿积：若X、Y是两个集合，二者的笛卡儿积是指集合{（x,y|x∈X，y∈Y）}，笛卡儿积中的子集F被称为x与y之间的一种关系。如果关系F满足：对于每一个x∈X，都存在唯一的一个Y，使得（x,y）∈F，则称F是一个函数。在美国中学的一些教科书中就采用了这种定义，［3］我国的一些大学数学教科书也有采用这种定义的。［4］

有时，分别称上述三种定义为变量说、对应说和关系说。

?问：既然函数的定义可以是多样的，那么函数定义的核心思想是什么呢？

▲史教授：我认为，在整个基础教育阶段数学的核心是研究关系，具体来说研究三种关系，即数量关系、图形关系和随机关系，我在一篇文章中曾经谈到这一点。［5］函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的：一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号来表示函数。我想，这些就是函数定义的核心思想。关于符号表达，无论是借助解析式，还是利用图像或者列表都是可以的。

?问：函数是中学数学的重要内容，您能否谈一下在中学学习函数的重要性？

▲史教授：在中学阶段的数学教学要突出函数的内容，这是数学家们长期实践后得出的结论。克莱因（F.Klein）在为中学数学教学起草的《米兰大纲》（1905年）中明确提出：“应将养成函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础。”在他的名著《高观点下的初等数学》中，他进一步强调用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容。［6］（19—21）

刚才已经谈到，要表达函数必须借助数字以外的符号。利用符号表达是具有一般性的，因此函数表达是数字表达的抽象和深化。同时，利用符号进行运算和推理所得到的结论也是具有一般性的，正因为这一点，使得人们能够借助函数构建模型，能够更好地刻画现实世界中的数量关系，并且通过数量关系的研究来解释现实世界。这不仅仅体现在自然科学、体现在工程技术上，也逐渐广泛地体现在人文社会科学上：世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。这些，又促使数学家们深入地研究各种函数的性质、运算以及与空间形式的关联，使得数学经历了从常量到变量、从有限到无限、从低维到高维的发展，一批新的数学分支应运而生。因此，无论是从数学的应用还是从数学本身的发展上，函数的重要性怎么说都不过分。

?问：函数、方程、不等式都是中学代数的重要数学内容，您能否谈一谈它们之间的联系和区别？

▲史教授：函数、方程、不等式是从不同角度刻画变量之间的数量关系，它们之间是有关联的，但又有本质的区别。比如，令f（x）=x2-3x-4，这是一个函数。表面上看，f(x)=0与方程x2=3x+4是等价的，但是二者所表达的意义是不同的：前者表示函数取0值，而后者表示变量之间的等量关系。同样，f(x)＞0与不等式x2＞3x+4所表达的意义也是不同的。在解决具体问题时应当注意它们之间的关联，比如，在求不等式的解的过程中，可以先求出等式的解，借助等式的解画出函数的图像，然后通过函数的图像写出不等式的解。

二、函数的课程设计

?问：刚才您已经谈到，关于函数的定义我国初中和高中的数学教科书中是有所不同的，您认为这种课程设计是合理的吗？

▲史教授：我认为，整个基础教育阶段的数学教育，应当从课程设计的角度统筹考虑。我们应当清楚每个年龄段的学生适于学习什么，怎样学。说得详细些，如果把小学分为两个学段，初中和高中各为一个学段，则在基础教育阶段共有四个学段。第一学段不要过多地学习数学，因为那时的孩子还不能很好地理解数学所表达的意义；第二阶段不要过多地涉及逻辑，因为学生还没有建立起足够的可以理解逻辑的概念；第三阶段不要过多地涉及形式化的抽象，因为首先要培养学生基于物理属性的、基于本原的抽象；到了第四阶段，可以逐渐让学生接触形式化的抽象概念。

上述想法是否合理是需要验证的，需要通过数据调查与分析。如果是合理的，那么关于函数概念的定义在初中数学教科书中采用变量说，在高中数学教科书采用对应说是有道理的。特别是，在初中阶段学生已经掌握了函数知识的主干部分，到高中阶段再进一步发展和扩充，也是符合布鲁纳所主张的建构主义方法的。［6］（50—51）

?问：函数概念比较抽象，学生不容易理解，您是否可以谈一谈在数学教材编写上如何处理这个问题？

▲史教授：函数概念本身就不好理解，又是学生在数学学习过程中第一次遇到的一般意义的抽象概念，学生对其理解有困难是不言而喻的。国外关于函数教学的研究也表明了这一点：函数概念有许多复杂的层次和许多相关的下层概念。这样，函数确实变成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。因此，针对这样的概念，我们不要期望一堂课或者几堂课就能让学生很好地理解，应当通过各种具体的例子和习题的分析帮助学生理解函数概念。

至于函数概念的引入，一般来说有两种处理办法：一种是从一般到特殊，直接给出函数的概念，然后举例加以说明；另一种是从特殊到一般，先举一些学生熟悉的特殊例子，通过对这些例子的分析，抽象出函数的本质属性，然后归纳出函数的定义。我想，在初中阶段用后一种方法可能比较合适，而在高中阶段用前一种方法可能比较合适。有了初中的基础，在高中阶段直接给出定义，可以与初中的定义比较，在差异中加深理解。

?问：为了加强对函数的理解，您认为在中学数学课程设计中还要注意哪些？