暖春数学知识的特征与学习方式的选择

[摘要]知识的特征不同，对学习方式的要求也就不同。有些数学知识具有经验性、演绎性或对象性，从学生的日常生活经验和知识基础出发，开展探究学习是必要的，也是可能的。有些数学知识具有超验性、合情性或程序性，对于这些知识，只能通过接受学习来获得。有效地选择学习方式，要综合考虑知识的特征、学生的特征、教师的特征和社会的特征。

[关键词]数学知识；接受学习；探究学习

新课程强调自主、合作、探究等学习方式，有利于培养学生的创新精神和实践能力。但是，仅有这种学习方式是不够的，因为数学知识有不同的特征。本文主要论述数学知识的特征，进而阐述不同特征的知识需要选择不同的学习方式：有的宜选择接受学习方式，有的宜选择探究学习方式。这里的接受学习有两层含义：一是指有的内容不易探究、发现，需要教师在课堂教学中加以呈现；二是指学生对于有的内容的理解有限，在不能完全理解的情况下，要先接受下来，进行相应的训练，并在以后的学习中再逐步加深理解。

一数学知识的特征

数学是关于数和形的科学，它与物理学、化学、生物学等学科不同，并不以客观世界的具体物质运动形态为研究对象。“数”和“形”都抽象地存在于人的理性思维世界。从根本上说，数学对象来源于现实世界，是具体事物的抽象。但是，有许多数学知识，则显示出超验性、合情性或程序性。这些特征，对数学教学具有特殊的要求。

1知识的超验性和经验性

数是抽象的产物。“我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校里学习的是抽象的乘法表，而不是男孩的数目乘以苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱……同样在几何中研究的，例如，是直线，而不是拉紧了的绳子。”[1]数学的研究对象，是人们对现实世界抽象的结果，甚至是对抽象的对象进一步抽象的结果。正因为如此，数学才有今天的蓬勃发展。因而，数学的研究对象与日常生活经验就有了远近之别：有的与学生的生活和知识经验较为接近，他们可以在自己的经验基础上探究并建构起这些数学知识，这些知识具有经验性；有的是人类理性思维的结晶，远离学生的生活和知识经验，学生很难通过自己的经验探究、发现这些数学知识，这些知识具有超验性。

人们没有见过自然数“1”，只见过一头牛、一只羊。自然数、分数、小数可以通过一些表征物来表示，较为直观，而负数就不直观了。无理数较为抽象，也很难找到一个具体事物作为原型。即便是最精确的尺子，也很难把无理数量出来。无理数是人类长期探索的结晶，是人类理性思维的结果。无理数是无限不循环的小数。人们对于“无限”难以把握，对于什么是“不循环”更不能直接感受，也没法说清楚。在中学，通常是用反证法来证明是一个无理数。从直观的角度来看，这个证明并没有给我们提供具体的信息。因而，学生很难靠自己的经验来建构无理数这个概念。如果说可以把看作边长为1的单位正方形对角线的长，那么，对π、e如何理解呢?难怪有中学生提出这样的问题：圆周率π是否可能以某个特别长的数作循环节而成为循环小数?代数式更加抽象，离我们的经验也就更远。对于数的运算而言，自然数的运算法则较为直观；小数和分数的运算法则介于具体与抽象之间；实数与代数式的运算法则超越了我们的经验，只能由自然数、有理数的运算法则迁移过来。总之，像无理数、虚数这样一些数学知识，学生不可能用自己的经验“探究”出来。为此，我们可以把这些知识直接告诉学生，让他们接受下来，然后让学生通过自己的理性思维逐步地加以消化、理解。

数学知识并不都具有超验性，大量的数学知识具有经验性。例如，田地的面积用“亩”丈量，用分数表示“部分”的大小，用数据描述一个“事件”发生的概率等，都是一些很具体且可以通过经验来获得的数学知识。这些知识都具有经验性，学生可以通过自主活动、积极思考、主动探究来建构。

2知识的合情性和演绎性

数学知识的获得，需要经过严格的演绎证明。只有经过严格演绎证明的结论，才能称为数学知识，也才是可以接受的。数学知识的可证明性亦可称为演绎性。数学知识的获得，往往要经过不完全归纳、试验、猜测等探索与合情推理的过程。特别是在中小学，由于学生的认知水平较低，许多结论是通过举例和不完全归纳得到的，是“混而不错”的，因而数学知识又显示出“合情性”。

比如，对于数的运算律的学习。自然数、分数乘法的交换律较为直观，可以通过画图、举例来说明。当然，这种直观的说明具有相当的深刻性。2×3=3×2，3×4=4×3，让学生感受一下，便可得出：a×b=b×a。这只是感受一下，只是一个猜想，而不是自己的发现、创造，也不是证明。有理数乘法的交换律更像一种规定性的东西。规定的合理性源于“运算律的承袭性”。自然数的乘法、分数的乘法、小数的乘法都满足交换律，于是，为了保持运算律的承袭性，有理数的乘法也满足交换律。在实数范围内，由于出现了无理数，想通过例子直观感受一下实数乘法的交换律就较难了。初中数学教材中的处理是一笔带过：在实数范围内，加法、乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律仍然是成立的。

陈省身先生曾说：“数学的主要方法是逻辑推理，因之，建立了一个坚固的思想结构。”①如此，中小学数学教学为何不追求严密的逻辑推理呢?如果遵循逻辑推理的要求，就要从匹亚诺公理系统和自然数乘法的定义出发，对自然数乘法的交换律进行证明。而证明实数乘法的交换律需要用到有理数的基本序列、极限等知识。这样的严密逻辑推理，谁能受得了。因而，相对于学生的认知水平，这些知识无需证明，也不可能证明。对于小学生而言，2×3=3×2，举个例子就行了。

“符号法则不能证明。人们只关心这个法则在逻辑上是否允许。这些法则是任意的，取决于使用上的方便，例如受承袭性原则的制约。我请求你们一般地不要把不可能的证明讲得似乎成立。大家应该用简单的例子使学生相信，或有可能的话，让他们自己弄清楚。从实际情况看，承袭性原则所包含的这些约定关系，恰好是适当的，因为可以得到一致方便的算法。”[2]

正因为如此，举个例子来说明问题，只是为了让学生更好地理解、接受某些知识，充其量只是一种合情推理，并非是证明，也不是探究。教材中的这种处理符合儿童的认知规律，也符合这些知识产生的实际。对教学而言，关键在于如何结合不同年龄阶段学生的特征，依据学生原有的知识基础，进行解释性的阐述。事实上，长期的教学实践也是这样做的，并没有什么不好。

既然有些数学知识不可能证明，也不宜证明，在初步理解的基础上，先接受下来，到知识有了一定的积累、认知水平有了一定的提高后，再进行证明，亦是合乎情理的。比如，对几何的学习，开始的时候，可以画一画，量一量，感受一下“三角形的内角和是180°”。这与学生的经验较为贴近，也较为直观。但是，到了初中阶段，必须让学生体会证明的必要性，进而让他们学习演绎证明。否则，学生就只会停留在“测一测，量一量”的状态。随着学习的深入，学生能够用逻辑的方法加以证明，这亦是学习数学的基本要求。